Métodos de adición de Vectores: POR DESCOMPOSICIÓN Y COMPOSICIÓN DE VECTORES - Problema

 Dados los vectores a, b y c con módulos de 20, 30, y 40 unidades respectivamente, y ángulos a = 30°, B = 25° y y = 40° (figura 2.21). Calcúlese el módulo y la dirección del vector resultante R.

SOLUCIÓN

1er Paso: Descomponer cada uno de los vectores.

Esto se muestra en la figura 2.22

2do Paso: Sumar algebraicamente las componentes en cada eje, obteniéndose de esta manera las componentes resultantes.

El signo negativo, simplemente señala que el ángulo está medido en el sentido horario, ya que por un convenio arbitrario, se establece que un ángulo medido en sentido antihorario es positivo, mientras que en sentido horario es negativo. Está claro que puede también adoptarse un convenio contrario a éste.

Métodos de adición de Vectores: POR DESCOMPOSICIÓN Y COMPOSICIÓN DE VECTORES

 Sistemas de coordenadas rectangulares

En el estudio de la teoría y aplicación de vectores es necesario introducir un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas). Estos sistemas se emplean para localizar puntos y luego dibujar a los vectores.

La construcción de un sistema de coordenadas rectangulares se realiza trazando ejes mutuamente perpendiculares entre si. Se trazan dos ejes: x, y si se trata de un sistema de coordenades en el plano (figura 2.17 a), y tres ejes: x, y, z si se trata en el espacio (figura 2.17 b). Estas coordenadas pueden construirse con orientación de mano derecha (figura 2.17), o con orientación de mano derecha (figura 2.18). En el estudio de vectores es deseable usar la misma premación de coordenadas, porque las formulas básicas cambian por un cambio de orientación. En este libro emplearemos la orientación de la mano derecha.

Descomposición de vectores

Descomponer un vector a significa proyectarlo ortogonalmente sobre cada uno de los ejes coordenados x, y (vea la figura 2.19), obteniendo de esta manera las componentes rectangulares 2 y 2y. Estas componentes, en función de los datos originales: el módulo de a, | a |,y su dirección, ángulo Θ, se calculan por las siguientes relaciones trigonométricas:

Composición de vectores

Es el proceso inverso a la descomposición. En este caso, los datos originales son las componentes a, y a, (figura 2.19), y se desea encontrar el módulo de a, a, y su angulo, Θ . El módulo se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:

¿Adición de vectores, como una suma corriente de aritmética?

 ¡Sil, este tipo de adición es un caso particular de la adición entre vectores, observe los vectores a y b que se dibujan a continuación.

Siguiendo los procedimientos de adición de vectores, del extremo de a se dibuja el vector b y el módulo del vector suma se calcula sumando los módulos de a y b es decir: s=a+b.Esto también es válido en la diferencia, d=a-b, cuyo módulo es: d = a - b

Pero debemos hacer hincapié, en que este procedimiento es válido, sólo en el caso de vectores que tienen la misma dirección.

Vectores - Problema 2

 Suponga que Ud. decide dar un paseo y partiendo de la puerta de su casa, recorre 100 m hacia el norte, 100 m hacia el este y finalmente 200 m hacia el norte. ¿Cuál fue el desplazamiento total que Ud. efectuó?. ¿Cuál la dirección y sentido del desplazamiento total?.

SOLUCIÓN

Interpretación del problema

El enunciado del problema indica los recorridos, del siguiente modo: 100 m hacia el norte, 100 m hacia el este y 200 m hacia el norte. Esta parte del enunciado, hace referencia a desplazamiento, por ejemplo el primer tramo del recorrido, la expresión 100 m, indica el módulo del vector desplazamiento, la dirección y sentido son indicados con los términos hacia el norte; entonces podemos denotar estos vectores desplazamiento como: d1 de módulo d1 100 m, dirección y sentido hacia el norte, d2, de módulo d2 = 100 m, dirección y sentido hacia el este, y d3, de módulo d3 = 200 m, dirección y sentido hacia el norte. Con esta notación, representamos estos vectores en la figura 2.15; en esta construcción vectorial, es evidente que el desplazamiento total, denotado por d, es igual a:

d = d1 + d2 + d3

Entonces el problema consiste en calcular la suma de vectores desplazamiento, di, d2, d3. Aplicando la propiedad conmutativa de la suma de vectores, la expresión (2.9) puede escribirse como:

d = d2 + (d1 + d3)

Esta última ecuación simplifica la suma de vectores, como se observa en la figura 2.16(a). Luego la suma d1 + d3, tiene de módulo di + d3 = 300 m, es decir la suma algebraica de sus módulos; esto solo es válido si d1 y d3 tienen la misma dirección y sentido. La figura 2.16(b), muestra el triángulo equivalente a la suma de vectores de la figura 2.16(a). Entonces, ya que el triángulo es rectángulo, el lado d se calcula empleando el teorema de Pitágoras

Vectores - Como resolver los problemas, Ejemplo 1

Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman entre ellos un ángulo de 60°. Encontrar la magnitud de su resultante, su dirección y sentido, con respecto al vector más pequeño.

Solución

Interpretación del problema

En el enunciado del problema nos indican que el ángulo entre los dos vectores es 60°; esto debe interpretarse del siguiente modo: El ángulo entre los vectores es de 60° cuando estos se dibujan de un modo que sus puntos iniciales coincidan; como se muestra en la figura 2.13. El problema no indica la posición en el espacio de estos vectores, así que, los colocamos según, a nuestro criterio (ver figura 2.13). En la figura 2.13, denotamos a al vector de 6 unidades y b al vector de módulo 9 unidades.

Desarrollo del problema

Construimos gráficamente la suma a+b = s, la cual se observa en la figura 2.14. Note que el ángulo de 60° entre a y b, al construir la suma de vectores, aparece como uno de los ángulos del triángulo CBA; con ello, el ángulo interno ϒ, resulta  ϒ = 180° - 60° = 120°.

En el triángulo ABC, se conocen los lados AB, BC y el ángulo  ϒ = 120°; además el triángulo formado es oblicuángulo, entonces para determinar el lado AC, que equivale al módulo del vector suma s, emplearemos el teorema de los cosenos:

Sugerencias para resolver problemas de adición de vectores o problemas relacionados con esta operación

• Lea detenidamente el enunciado del problema, si es necesario varias veces, hasta comprender el contenido; use diccionarios u otras fuentes si es que existen términos que no se entienden. Es claro, que si no se interpreta correctamente el problema, la solución que puede elaborarse no será por lo tanto correcta.
• En este tipo de problemas, conviene siempre dibujar los vectores a escala con las direcciones y sentidos correctos, y determinar gráficamente las incógnitas solicitadas (sumas, ángulos u otros) antes de resolver el problema por métodos numéricos. Esto nos sirve para intuir el posible resultado. Sin embargo debemos hacer notar que casi siempre deben resolverse los problemas por métodos numéricos a menos que el enunciado indique otra cosa, por ello el método gráfico es sólo una guía en la resolución.
• Si la figura resultante en la construcción de la suma de vectores es un triángulo; determine mediante el enunciado los ángulos internos del triángulo, si es que esto es posible. Finalmente emplee relaciones trigonométricas adecuadas.
• Verifique siempre los resultados por cualquier método posible. Es decir la coherencia de los resultados.

Vectores - Métodos Analíticos - Por resolución de Triángulos

Cuando se adicionan dos vectores que poseen diferentes direcciones, como los que se muestran en las figuras 2.9, 2.10 y 2.12; al efectuar la construcción geométrica del vector suma, la figura resulta siempre un triángulo. Este triángulo, que en la mayoría de los casos es oblicuángulo (pocas veces es rectángulo), tiene de los lados consecutivos a los vectores a, b y a la suma a + b (o s). A continuación, para resolver el triángulo, se emplean las leyes de senos y de cosenos si el triángulo es oblicuángulo, y el teorema de Pitágoras si el triángulo es rectángulo.

Vectores - Pero medir es fácil

Por supuesto, resolver los problemas de adición mediante la medición directa, con reglas para longitudes, y otros instrumentos para determinar ángulos, !Es fácil!; sin embargo, una pequeña desviación al dibujar a escala puede conducirnos !fácilmente! a resultados bastante errados.

Métodos de Adición - Método Gráfico

Métodos de adición

En general se dispone de dos métodos: el gráfico y el analítico

Método Gráfico

Este método consiste en dibujar los vectores como segmentos dirigidos (flechas), con la dirección y sentido real de estos. La longitud del segmento (o línea), en centímetros y otra unidad, debe dibujarse de acuerdo al módulo de los vectores en determinada escala. Consideremos los vectores a y b de módulo a = 5 unidades y b =  10 unidades, estos se muestran en la figura 2.12. Luego se dibuja el vector b, con su origen en el extremo de a, a continuación se dibuja un segmento dirigido, que inicia en el origen de a y finaliza en el  extremo del vector b, finalmente se mide este segmento, tal como se ilustra en la figura 2.12. El módulo de la suma, s, resulta s = 11,2 unidades (11,2 cm), la dirección y sentido quedan establecidos en el dibujo. Nótese que el módulo de s noes la suma aritmética de los módulos de a y de b, ya que deben también considerarse la dirección y sentido de éstos.

Esta manera de determinar el módulo, dirección y sentido de la suma de vectores no es muy exacta, puesto que se halla limitado a la exactitud de los instrumentos de medida y a la capacidad visual del observador. Sin embargo, es conveniente efectuar la suma por este método antes de emplear otra metodología exacta; así, esto nos proporcionará pautas y nos servirá de guía para determinar la adición por procedimientos analíticos.

Propiedades de la adición de Vectores - Adición con el vector cero y Adición con el vector inverso

c) Adición con el vector cero

a + 0 = a

d) Adición con el vector inverso

a + (-a) = 0

Propiedades de la adición de Vectores - Asociatividad

La adición de vectores es asociativa; esto es:

(a+b) + c = a + (b+c)

Demostración

Construimos un polígono, que se muestra en la figura 2.11, con los vectores a, b y c como los lados consecutivos. Las aristas de este polígono son denotados como P, Q, R y S. En la figura 2.11 se observa que:

(a + b) + c = PR + c = PS

a + (b+c) = a + QS = PS

Entonces esta propiedad es válida en la suma de vectores

Propiedades de la adición de Vectores - Conmutatividad

La adición de vectores es conmutativa; es decir:

a + b = b + a      (2.1)

Demostración

Sean a y b dos vectores, como los que se muestran en la figura 2.10. Entonces:

a + b = PR  (2.2)

A continuación construimos un vector igual a b, con su origen en el punto P. Entonces su punto terminal es S. Un vector igual a a es luego construido con su origen en S. El punto terminal de este vector coincide con R, este diagrama es mostrado en la figura 2.10. Luego:

b + a = PR

De (2.2) y (2.3) es evidente que: a + b = b + a

Adición de Vectores - Definición

Si a y b son dos vectores, entones la suma: a+b; es otro vector que se determina de la manera siguiente: Coloque el vector b de modo que su punto de inicial coincida con el punto terminal de a. Entonces el vector a + b está representando por el segmento dirigido que va del punto inicial a al punto terminal de b, como se ilustra en la figura 2.9. Si analizamos la adición de vectores, debemos notar que el símbolo "+" en esta operación, tiene un significado algo diferente al que se tiene en álgebra y artimética ordinarias.

El módulo de a + b, es igual al tamaño del segmento del segmento AB (ver figura 2,9), que puede determinarse por medición (Método gráfico) si los vectores a y b se dibujan de acuerdo a cierta escala.

Adición de Vectores

La adición de vectores solamente está definida para vectores de la misma naturaleza, en consecuencia no tiene sentido sumar vectores fuerza con vectores velocidad por ejemplo.

Tipos de Vectores - Vector Cero

Un vector a es igual a cero, si su módulo a es cero. Así a =  0, sí  a = 0. Tal vector es denominado vector cero, cuya dirección y sentido son arbitrarias

Tipos de Vectores - Vectores Concurrentes

Se denominan vectores concurrentes a aquellos cuyas líneas de acción se intersectan en un solo punto fig