Vectores - Como resolver los problemas, Ejemplo 1

Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman entre ellos un ángulo de 60°. Encontrar la magnitud de su resultante, su dirección y sentido, con respecto al vector más pequeño.

Solución

Interpretación del problema

En el enunciado del problema nos indican que el ángulo entre los dos vectores es 60°; esto debe interpretarse del siguiente modo: El ángulo entre los vectores es de 60° cuando estos se dibujan de un modo que sus puntos iniciales coincidan; como se muestra en la figura 2.13. El problema no indica la posición en el espacio de estos vectores, así que, los colocamos según, a nuestro criterio (ver figura 2.13). En la figura 2.13, denotamos a al vector de 6 unidades y b al vector de módulo 9 unidades.

Desarrollo del problema

Construimos gráficamente la suma a+b = s, la cual se observa en la figura 2.14. Note que el ángulo de 60° entre a y b, al construir la suma de vectores, aparece como uno de los ángulos del triángulo CBA; con ello, el ángulo interno ϒ, resulta  ϒ = 180° - 60° = 120°.

En el triángulo ABC, se conocen los lados AB, BC y el ángulo  ϒ = 120°; además el triángulo formado es oblicuángulo, entonces para determinar el lado AC, que equivale al módulo del vector suma s, emplearemos el teorema de los cosenos:

Sugerencias para resolver problemas de adición de vectores o problemas relacionados con esta operación

• Lea detenidamente el enunciado del problema, si es necesario varias veces, hasta comprender el contenido; use diccionarios u otras fuentes si es que existen términos que no se entienden. Es claro, que si no se interpreta correctamente el problema, la solución que puede elaborarse no será por lo tanto correcta.
• En este tipo de problemas, conviene siempre dibujar los vectores a escala con las direcciones y sentidos correctos, y determinar gráficamente las incógnitas solicitadas (sumas, ángulos u otros) antes de resolver el problema por métodos numéricos. Esto nos sirve para intuir el posible resultado. Sin embargo debemos hacer notar que casi siempre deben resolverse los problemas por métodos numéricos a menos que el enunciado indique otra cosa, por ello el método gráfico es sólo una guía en la resolución.
• Si la figura resultante en la construcción de la suma de vectores es un triángulo; determine mediante el enunciado los ángulos internos del triángulo, si es que esto es posible. Finalmente emplee relaciones trigonométricas adecuadas.
• Verifique siempre los resultados por cualquier método posible. Es decir la coherencia de los resultados.

Vectores - Métodos Analíticos - Por resolución de Triángulos

Cuando se adicionan dos vectores que poseen diferentes direcciones, como los que se muestran en las figuras 2.9, 2.10 y 2.12; al efectuar la construcción geométrica del vector suma, la figura resulta siempre un triángulo. Este triángulo, que en la mayoría de los casos es oblicuángulo (pocas veces es rectángulo), tiene de los lados consecutivos a los vectores a, b y a la suma a + b (o s). A continuación, para resolver el triángulo, se emplean las leyes de senos y de cosenos si el triángulo es oblicuángulo, y el teorema de Pitágoras si el triángulo es rectángulo.

Vectores - Pero medir es fácil

Por supuesto, resolver los problemas de adición mediante la medición directa, con reglas para longitudes, y otros instrumentos para determinar ángulos, !Es fácil!; sin embargo, una pequeña desviación al dibujar a escala puede conducirnos !fácilmente! a resultados bastante errados.

Métodos de Adición - Método Gráfico

Métodos de adición

En general se dispone de dos métodos: el gráfico y el analítico

Método Gráfico

Este método consiste en dibujar los vectores como segmentos dirigidos (flechas), con la dirección y sentido real de estos. La longitud del segmento (o línea), en centímetros y otra unidad, debe dibujarse de acuerdo al módulo de los vectores en determinada escala. Consideremos los vectores a y b de módulo a = 5 unidades y b =  10 unidades, estos se muestran en la figura 2.12. Luego se dibuja el vector b, con su origen en el extremo de a, a continuación se dibuja un segmento dirigido, que inicia en el origen de a y finaliza en el  extremo del vector b, finalmente se mide este segmento, tal como se ilustra en la figura 2.12. El módulo de la suma, s, resulta s = 11,2 unidades (11,2 cm), la dirección y sentido quedan establecidos en el dibujo. Nótese que el módulo de s noes la suma aritmética de los módulos de a y de b, ya que deben también considerarse la dirección y sentido de éstos.

Esta manera de determinar el módulo, dirección y sentido de la suma de vectores no es muy exacta, puesto que se halla limitado a la exactitud de los instrumentos de medida y a la capacidad visual del observador. Sin embargo, es conveniente efectuar la suma por este método antes de emplear otra metodología exacta; así, esto nos proporcionará pautas y nos servirá de guía para determinar la adición por procedimientos analíticos.

Propiedades de la adición de Vectores - Adición con el vector cero y Adición con el vector inverso

c) Adición con el vector cero

a + 0 = a

d) Adición con el vector inverso

a + (-a) = 0

Propiedades de la adición de Vectores - Asociatividad

La adición de vectores es asociativa; esto es:

(a+b) + c = a + (b+c)

Demostración

Construimos un polígono, que se muestra en la figura 2.11, con los vectores a, b y c como los lados consecutivos. Las aristas de este polígono son denotados como P, Q, R y S. En la figura 2.11 se observa que:

(a + b) + c = PR + c = PS

a + (b+c) = a + QS = PS

Entonces esta propiedad es válida en la suma de vectores

Propiedades de la adición de Vectores - Conmutatividad

La adición de vectores es conmutativa; es decir:

a + b = b + a      (2.1)

Demostración

Sean a y b dos vectores, como los que se muestran en la figura 2.10. Entonces:

a + b = PR  (2.2)

A continuación construimos un vector igual a b, con su origen en el punto P. Entonces su punto terminal es S. Un vector igual a a es luego construido con su origen en S. El punto terminal de este vector coincide con R, este diagrama es mostrado en la figura 2.10. Luego:

b + a = PR

De (2.2) y (2.3) es evidente que: a + b = b + a

Adición de Vectores - Definición

Si a y b son dos vectores, entones la suma: a+b; es otro vector que se determina de la manera siguiente: Coloque el vector b de modo que su punto de inicial coincida con el punto terminal de a. Entonces el vector a + b está representando por el segmento dirigido que va del punto inicial a al punto terminal de b, como se ilustra en la figura 2.9. Si analizamos la adición de vectores, debemos notar que el símbolo "+" en esta operación, tiene un significado algo diferente al que se tiene en álgebra y artimética ordinarias.

El módulo de a + b, es igual al tamaño del segmento del segmento AB (ver figura 2,9), que puede determinarse por medición (Método gráfico) si los vectores a y b se dibujan de acuerdo a cierta escala.

Adición de Vectores

La adición de vectores solamente está definida para vectores de la misma naturaleza, en consecuencia no tiene sentido sumar vectores fuerza con vectores velocidad por ejemplo.